Astuces et Probabilites – 1 –
Hasard, Probabilités et Loto.
Y-a-t-il des astuces pour gagner au Loto ? Il faut comprendre que les boules n’ont pas de mémoire. Autrement dit chaque tirage est complètement indépendant des précédents.<
D’autre part, tous les numéros sont équiprobables. Il suffit de voir les nombres de sorties des 49 numéros depuis la création du jeu pour s’en convaincre. Si tous les numéros sont équiprobables, toutes les combinaisons de 7 numéros (6 + le complémentaire) le sont aussi.
Cela a plusieurs implications pour le joueur :
1. Il n’y a donc pas de combinaisons plus « astucieuses » que d’autres. La grille 1- 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 par exemple donne exactement les mêmes chances de gagner que n’importe qu’elle autre grille simple.
Et pourtant qui joue ce type de grille ? Des statistiques fournies par La Française des Jeux seraient sans doute édifiantes …
2. Il n’y a pas de combinaisons « usées » parce que déjà sorties. On peut très bien jouer une combinaison déjà sortie la veille. Elle n’est ni moins ni plus probable que n’importe quelle autre !
3. Il n’y a pas de joueur « fini » parce que déjà gagnant. Un gagnant du 1er rang par exemple a exactement les mêmes chances de gagner que n’importe quel autre joueur (à mise équivalente) pour les tirages suivants.
4. Il n’est donc pas utile de s’embarquer dans des calculs laborieux de statistiques ou d’échafauder d’ésotériques calculs de probabilités pour améliorer ses chances de gains. Une brave grille flash est tout aussi efficace … Le Loto est un jeu de hasard.
Mais on peut quand même faire de jolis calculs de probabilités
On peut calculer la probabilité de gagner à tel ou tel rang avec une grille simple ou une grille multiple à n numéros. La probabilité de gagner étant le quotient du nombre de grilles gagnantes sur le nombre de grilles possibles.
Prenons un exemple : quelle est la probabilité de gagner au 7ème rang (3 bons numéros) avec une grille simple (6 numéros cochés)?
Le nombre de grilles possibles avec 6 numéros pris parmi 49 est C649 soit 13 983 816.
Le nombre de grilles gagnantes, c’est à dire contenant 3 numéros parmi les 6 bons, est C36 . C6-349-7 soit 229 600.
La probabilité de gagner au 7ème rang avec une grille simple est donc 229 600 sur 13 983 816 soit 1 chance sur 61 environ.
Autre exemple : quelle est la probabilité de gagner au 4ème rang ( 4 bons numéros + le complémentaire) avec une grille multiple à 8 numéros ?
Le nombre de grilles possibles avec 8 numéros est C849 soit 450 978 066.
Le nombre de grilles gagnantes, c’est à dire avec 4 bons numéros + le complémentaire, est C46 . C8-549-7 soit 172 200.
La probabilité de gagner au 4ème rang avec une grille multiple à 8 numéros est donc 172 200 sur 450 978 066 soit 1 chance sur 2 619 environ.
En résumé :
| Grille à 6 n° | Grille à 7 n° | Grille à 8 n° | Grille à 9 n° | Grille à 10 n° | |
| 6 n° |
1 |
43 |
903 |
12 341 |
123 410 |
| 5 n° + Compl. |
6 |
252 |
5 166 |
68 880 |
671 580 |
| 5 n° |
252 |
5 166 |
68 880 |
671 580 |
5 104 008 |
| 4 n° + Compl. |
630 |
12 915 |
172 200 |
1 678 950 |
12 760 020 |
| 4 n° |
12 915 |
172 200 |
1 678 950 |
12 760 020 |
78 686 790 |
| 3 n° + Compl. |
17 220 |
229 600 |
2 238 600 |
17 013 360 |
104 915 720 |
| 3 n° |
229 600 |
2 238 600 |
17 013 360 |
104 915 720 |
539 566 560 |
| Gagnantes |
260 624 |
2 658 776 |
21 178 059 |
137 120 851 |
741 828 088 |
| Possibles |
13 983 816 |
85 900 584 |
450 978 066 |
2 054 455 634 |
8 217 822 536 |
Ce qui donne (en arrondissant à l’unité) les probabilités de gain :
| Grille à 6 n° | Grille à 7 n° | Grille à 8 n° | Grille à 9 n° | Grille à 10 n° | |
| 6 n° |
1/ 13 983 816 |
1/ 1 997 688 |
1/ 499 422 |
1/ 166 474 |
1/ 66 590 |
| 5 n° + Compl. |
1/ 2 330 636 |
1/ 340 875 |
1/ 87 297 |
1/29 827 |
1/ 12 237 |
| 5 n° |
1/ 55 491 |
1/ 16 628 |
1/ 6 547 |
1/ 3 059 |
1/ 1 610 |
| 4 n° + Compl. |
1/ 22 197 |
1/6 651 |
1/ 2 619 |
1/ 1 224 |
1/ 644 |
| 4 n° |
1/ 1 083 |
1/ 499 |
1/ 269 |
1/ 161 |
1/ 104 |
| 3 n° + Compl. |
1/ 812 |
1/ 374 |
1/ 201 |
1/ 121 |
1/ 78 |
| 3 n° |
1/ 61 |
1/ 38 |
1/ 27 |
1/ 20 |
1/ 15 |
| Gagnantes |
1/ 54 |
1/ 32 |
1/ 21 |
1/ 15 |
1/ 11 |
(lecture du tableau : ce que disent ces chiffres et ce qu’ils ne disent pas)
Les grilles multiples donnent évidemment plus de chance de gagner quel que soit le rang mais elles sont aussi plus chères :
| Mise par grille pour 1 tirage | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Grille à 6 n° | Grille à 7 n° | Grille à 8 n° | Grille à 9 n° | Grille à 10 n° | |
| Mise (Francs) |
2 |
14 |
56 |
168 |
420 |
Il faut donc, pour pouvoir comparer ces différentes grilles, ramener la probabilité de gagner au franc misé . Ce qui donne (toujours en arrondissant à l’unité) :
| Grille à 6 n° | Grille à 7 n° | Grille à 8 n° | Grille à 9 n° | Grille à 10 n° | |
| 6 n° |
1/ 27 967 632 |
1/ 27 967 632 |
1/ 27 967 632 |
1/ 27 967 632 |
1/ 27 967 632 |
| 5 n° + Compl. |
1/ 4 661 272 |
1/ 4 772 254 |
1/ 4 888 651 |
1/ 5 010 867 |
1/ 5 139 351 |
| 5 n° |
1/ 110 983 |
1/ 232 793 |
1/ 366 649 |
1/ 513 935 |
1/ 676 230 |
| 4 n° + Compl. |
1/ 44 393 |
1/ 93 117 |
1/ 146 660 |
1/ 205 574 |
1/ 270 492 |
| 4 n° |
1/ 2 166 |
1/ 6 984 |
1/ 15 042 |
1/ 27 049 |
1/ 43 864 |
| 3 n° + Compl |
1/ 1 624 |
1/ 5 238 |
1/ 11 282 |
1/ 20 287 |
1/ 32 898 |
| 3 n° |
1/ 122 |
1/ 537 |
1/ 1 484 |
1/ 3 290 |
1/ 6 397 |
| Gagnantes |
1/ 107 |
1/ 452 |
1/ 1 192 |
1/ 2 517 |
1/ 4 653 |
On peut faire deux observations intéressantes :
1.En considérant la 1ère ligne du tableau, on comprend comment a été fixé le prix de chaque grille : de façon à donner (pour chaque franc misé) la même chance de gagner au 1er rang.
2. Plus surprenant : les grilles multiples donnent moins de chance de gagner (pour chaque franc misé) que la grille simple, et ceci pour tous les autres rangs ! L’écart est même important (si on regarde la dernière ligne récapitulative).
Doit-on en conclure qu’il faut plutôt jouer plusieurs grilles simples au lieu d’une grille multiple ?
Il faut tenir compte d’un autre paramètre : les grilles multiples rapportent plus pour une même combinaison gagnante que la grille simple (pour 3 bons numéros par exemple, la grille multiple à 7 n° rapporte 4 fois ce que rapporte la grille simple).
Tout dépend donc de la stratégie de jeu que l’on adopte : si on veut plus de chance de gagner mais gagner peu à chaque fois, il faut jouer des grilles simples. Si on veut moins de chance de gagner mais gagner plus à chaque fois, il faut mieux jouer des grilles multiples.
Vite dit, les gagne-petits joueront des grilles simples et les flambeurs joueront des grilles multiples.